10 矩阵与图形输出(一)

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GESP C++ 二级：矩阵与图形输出综合精讲

核心目标：掌握矩阵与图形输出的“万能三步法”，熟练用双重循环+条件判断解决矩形、三角形、对角线、边框、字母矩阵、数字矩阵等常见题型。
外层循环控制行，内层循环控制列；在每个坐标(i, j)判断该输出什么字符；边界条件优先级最高，判断顺序不能乱。

一、矩阵与图形输出的本质

所有控制台图形打印题，都可以抽象为一个二维矩阵的输出问题。每一行字符对应程序中的一个输出序列，核心是建立行索引(i)、列索引(j)与输出字符之间的逻辑关系。

最根本的代码框架是双重循环：

for (int i = 1; i <= n; i++) {       // 控制行
    for (int j = 1; j <= n; j++) {   // 控制列
        // 判断这里打印什么字符
    }
    cout << endl;                     // 每行结束后换行
}

理解这一点至关重要：外层循环控制纵向的行数，内层循环控制横向的列数。所有的工作，就是根据题目要求，在内层循环中编写条件判断，决定在特定的(i, j)坐标上应该打印什么。

二、图形打印的通用框架

第一步：找边界

判断当前坐标是否处于图形的边界位置。常见的边界条件包括：

左右边界：j == 0 || j == n-1
上下边界：i == 0 || i == n-1
中间行：i == n/2（n为奇数时）

第二步：找规律

判断当前坐标是否处于图形的特殊规律位置。常见规律包括：

主对角线：i == j
副对角线：i + j == n-1（从0开始）或 i + j == n+1（从1开始）
行号与列号的关系：如 j <= i 形成三角形

第三步：其他情况

以上条件都不满足时，输出填充字符（空格、小写字母等）。

关键原则：边界条件优先级最高，判断顺序不能乱。以“日字矩阵”为例，如果先判断横线行，第一行两边的字符就会变成-而不是|，所以必须先判断边框列。

三、常见图形模板速查

1. 矩形与正方形

实心矩形（n行m列）：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        cout << "*";
    }
    cout << endl;
}

空心矩形：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (i == 1 || i == n || j == 1 || j == m)
            cout << "*";
        else
            cout << " ";
    }
    cout << endl;
}

2. 三角形系列

左下实心三角形：内层循环条件 j <= i

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        cout << "*";
    }
    cout << endl;
}

倒直角三角形：

for (int i = n; i >= 1; i--) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        cout << "*";
    }
    cout << endl;
}

等腰三角形：先打印空格，再打印星号

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n - i; j++) cout << " ";      // 空格
    for (int j = 1; j <= 2 * i - 1; j++) cout << "*";  // 星号
    cout << endl;
}

3. 对角线系列

主对角线（左上到右下）：规律是 i == j

if (i == j) cout << "*";
else cout << "-";

副对角线（右上到左下）：规律是 i + j == n - 1（从0开始计数时）

X形：主对角线和副对角线的结合

if (i == j || i + j == n + 1) cout << "*";
else cout << " ";

4. 字母/字符矩阵

[GESP样题二级] 画正方形 ：第i行的第一个字母是字母表中第i个字母（A=1，B=2...超过Z后循环回到A）。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        char ch = 'A' + (i - 1 + j - 1) % 26;
        cout << ch;
    }
    cout << endl;
}

5. 数字矩阵

[GESP202503 二级] 等差矩阵 ：在矩阵的第i行第j列填入整数 i * j，使得每一行与每一列均是等差数列。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        cout << i * j << " ";
    }
    cout << endl;
}

数字三角形：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        cout << j << " ";
    }
    cout << endl;
}

数字金字塔：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n - i; j++) cout << " ";
    for (int j = 1; j <= i; j++) cout << j;
    for (int j = i - 1; j >= 1; j--) cout << j;
    cout << endl;
}

6. 蛇形/填充矩阵

[GESP202409 二级] 小杨的 N 字矩阵 ：行索引为偶数时从左到右顺序填充，行索引为奇数时从右到左逆序填充。

int num = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (i % 2 == 0) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << num++ << " ";
        }
    } else {
        for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
            // 需要用数组暂存或反向计算
        }
    }
    cout << endl;
}

N字矩阵的奇数行需要从右往左输出，可以用数组暂存后反向输出，或用数学公式直接计算每个位置的值。

四、真题示例精讲

真题1：[GESP202403 二级] 小杨的日字矩阵

题目要求：输入奇数n，输出n×n的“日”字矩阵。最左列和最右列全部输出|，第一行、最后一行、中间一行全部输出-（但两端仍为|），其他位置输出x。

解题代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            char ch;
            if (j == 0 || j == n - 1) {
                ch = '|';           // 第一步：边框列优先
            } else if (i == 0 || i == n - 1 || i == n / 2) {
                ch = '-';           // 第二步：特殊横线行
            } else {
                ch = 'x';           // 第三步：其他情况
            }
            cout << ch;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

核心要点：判断顺序不能乱。必须先判断边框列，否则第一行两边的字符会变成-而不是|。

真题2：[GESP202312 二级] 小杨的 H 字矩阵

题目要求：最左列、最右列都是|，中间一行（第(n-1)/2行）的输出都是-，其余所有字符都是小写字母a。

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if (j == 0 || j == n - 1)
            cout << '|';
        else if (i == (n - 1) / 2)
            cout << '-';
        else
            cout << 'a';
    }
    cout << endl;
}

真题3：[GESP202309 二级] 小杨的 X 字矩阵

题目要求：输出n×n矩阵，主对角线和副对角线位置输出+，其他位置输出-。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if (i == j || i + j == n + 1)
            cout << "+";
        else
            cout << "-";
    }
    cout << endl;
}

真题4： [GESP202603 二级] 画画

题目要求：n行n列的正方形。四个顶点使用+，除顶点外第1行与第n行使用-，除顶点外第1列与第n列使用|，内部使用*。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if ((i == 1 || i == n) && (j == 1 || j == n))
            cout << "+";
        else if (i == 1 || i == n)
            cout << "-";
        else if (j == 1 || j == n)
            cout << "|";
        else
            cout << "*";
    }
    cout << endl;
}

关键：顶点判断必须放在最前面，优先级最高。

五、易错点与调试技巧

常见易错点

判断顺序错误：边界条件优先级最高。如果先判断横线行，边框列的字符就会被覆盖。
行列索引从0还是从1开始：从0开始时，副对角线条件为 i + j == n - 1；从1开始时，为 i + j == n + 1。务必根据代码统一。
换行位置错误：cout << endl; 必须放在内层循环结束后、外层循环内，否则每打印一个字符就换行。
空格处理：题目要求输出空格时，不要漏掉，也不要用其他字符替代。
n为偶数的情况：部分题目保证n为奇数（如日字矩阵、H字矩阵），但如果不保证，需要额外处理中间行/列。
输出格式：不要添加多余的空格、标点或空行。GESP评测系统要求输出与标准答案完全一致。
边界值：注意n=1、n=2等最小情况是否正常输出。

调试技巧

打印坐标辅助调试：在循环内临时输出行号和列号，观察判断逻辑是否覆盖了所有情况。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        cout << "(" << i << "," << j << ")";
    }
    cout << endl;
}

用表格分析：在纸上画出n×n的表格，逐格标出每个位置应该输出的字符，再归纳i和j的条件关系。

六、速查表

图形	核心条件	说明
实心矩形	无条件	全部输出同一字符
空心矩形	`i==1
左下三角形	`j <= i`	内层循环条件
倒三角形	`j <= n - i + 1`	内层循环条件
等腰三角形	空格 `n-i` + 星号 `2*i-1`	两个内层循环
主对角线	`i == j`	从1开始
副对角线	`i + j == n + 1`	从1开始
X形	`i==j
日字矩阵	边框列`	`+ 三横线`- `+ 内部`x`
H字矩阵	左右列`	`+ 中间行`- `+ 其余`a`
等差矩阵	`i * j`	直接输出乘积
字母正方形	`'A' + (i-1+j-1) % 26`	循环字母

八、总结

矩阵与图形输出是GESP二级编程题的必考题型，解题思路高度固定，核心是双重循环遍历行列，按i/j的关系判断输出字符。

所有图形题都是二维矩阵输出问题。
外层循环控制行，内层循环控制列。
万能三步法：找边界 → 找规律 → 其他情况。
边界条件优先级最高，判断顺序不能乱。
对角线核心条件：主对角线 i==j，副对角线 i+j==n+1（从1开始）。
三角形核心条件：j <= i 或 j <= n-i+1。
换行放在内层循环结束后、外层循环内。
输出必须与标准答案完全一致，不多空格、不多换行。

复习建议：先把正方形、三角形、对角线三类基础模板写熟，再练日字矩阵、H字矩阵、X字矩阵等真题，最后挑战N字矩阵、蛇形矩阵等填充类题目。做题时先在纸上画出目标图形，逐格分析i和j的关系，再尝试写代码。