GESP C++ 三级：位运算精讲

核心目标：掌握六种位运算符 & | ^ ~ << >> 的规则与运算方法，理解补码下的位运算，能熟练求值、判断奇偶、交换变量、取位/设位/清位、统计 1 的个数。
位运算直接操作二进制补码；& 同 1 为 1，| 有 1 为 1，^ 不同为 1，~ 取反，<< 左移乘 2 的幂，>> 右移除 2 的幂。

一、位运算基础

1. 什么是位运算

位运算是直接对整数的二进制补码逐位进行操作的运算。计算机中所有整数都以补码存储，因此位运算对正数和负数都适用。

2. 补码回顾

• 正数：原码 = 反码 = 补码。
• 负数：补码 = 反码 + 1。
• 8 位补码范围：-128 ~ 127。
• 位运算时，先写出操作数的补码，逐位运算，结果再按补码解释。

3. 六种位运算符总览

运算符	名称	运算规则	优先级
~	按位非	每一位取反，0 变 1，1 变 0	高
<<	左移	所有位左移，右边补 0	中
>>	右移	所有位右移，左边补符号位
&	按位与	两个位都为 1 时结果为 1	低
^	按位异或	两个位不同时结果为 1
`		按位或	两个位有一个为 1 时结果为 1

注意：位运算符优先级低于算术运算符，不确定时加括号。& 和 | 不要与逻辑运算符 &&、|| 混淆。

二、按位与 &

1. 规则

两个相应位都为 1 时，结果位才为 1，否则为 0。

  1010 1100
& 1100 1010
──────────
  1000 1000

2. 示例

int a = 5;   // 0101
int b = 3;   // 0011
cout << (a & b) << endl;   // 0001 = 1

3. 常见用途

用途	写法	说明
判断奇偶	n & 1	结果为 1 是奇数，0 是偶数
取某一位	(n >> k) & 1	取第 k 位（从 0 开始）
清零某一位	n & ~(1 << k)	第 k 位变 0
保留某些位	n & mask	mask（掩码） 中为 1 的位保留

（mask掩码：用一串二进制数字当 “遮罩”，只保留想要的二进制位，屏蔽其他位。）

三、按位或 |

1. 规则

两个相应位中有一个为 1，结果位就为 1。

  1010 1100
| 1100 1010
──────────
  1110 1110

2. 示例

int a = 5;   // 0101
int b = 3;   // 0011
cout << (a | b) << endl;   // 0111 = 7

3. 常见用途

用途	写法	说明
设置某一位为 1	`n	(1 << k)`

四、按位异或 ^

1. 规则

两个相应位不同时结果为 1，相同时为 0。

  1010 1100
^ 1100 1010
──────────
  0110 0110

2. 示例

int a = 5;   // 0101
int b = 3;   // 0011
cout << (a ^ b) << endl;   // 0110 = 6

3. 常见用途

用途	写法	说明
交换两个变量	a ^= b; b ^= a; a ^= b;	无需临时变量
判断相等	a ^ b == 0	相等则结果为 0
翻转某一位	n ^ (1 << k)	第 k 位取反
找只出现一次的数	全部异或	其他数出现两次

五、按位非 ~

1. 规则

每一位取反，0 变 1，1 变 0。

~ 0000 0101
──────────
  1111 1010

2. 示例

int a = 5;   // 0000 0101
cout << ~a << endl;   // 1111 1010，补码解释为 -6

3. 重要结论

对于整数 n，~n = -n - 1。

~5 == -6
~0 == -1
~-1 == 0

4. 常见用途

• 配合 & 清零某一位：n & ~(1 << k)。
• 构造掩码。

六、左移 <<

1. 规则

所有位向左移动指定的位数，右边空出的位补 0。

0000 0101 << 1
──────────────
0000 1010

2. 示例

int a = 5;
cout << (a << 1) << endl;   // 10
cout << (a << 2) << endl;   // 20
cout << (a << 3) << endl;   // 40

3. 数学意义

左移 n 位相当于乘以 $2^n$。

a << 1  ==  a * 2
a << 2  ==  a * 4
a << 3  ==  a * 8

4. 常见用途

• 快速乘以 2 的幂。
• 构造 1 << k 表示第 k 位为 1 的掩码。
• 位运算题目中用于取位、设位。

5. 注意

左移可能导致溢出，超出类型范围时结果不确定。

七、右移 >>

1. 规则

所有位向右移动指定的位数。

0000 1010 >> 1
──────────────
0000 0101

2. 示例

int a = 20;
cout << (a >> 1) << endl;   // 10
cout << (a >> 2) << endl;   // 5

3. 数学意义

右移 n 位相当于除以 $2^n$，向下取整。

a >> 1  ==  a / 2
a >> 2  ==  a / 4
a >> 3  ==  a / 8

4. 负数右移

负数右移是算术右移，左边补符号位（1），结果向下取整。

-5 >> 1   // -3，不是 -2

因为 -5 的补码右移一位后，结果补码解释为 -3。

5. 注意

• 右移不改变符号位。
• 对负数右移要小心，不要简单理解为除以 2。

八、位运算优先级

从高到低：

~ 
<<  >>
&
^
|

但整体上，位运算符优先级低于算术运算符。例如：

1 << 2 + 3   // 先算 2+3=5，再算 1<<5 = 32
(1 << 2) + 3 // 先算 1<<2=4，再加 3 = 7

建议：不确定时加括号。

九、位运算与逻辑运算的区别

位运算	逻辑运算	区别
&	&&	& 逐位与，&& 整体逻辑与
`
~	!	~ 逐位取反，! 逻辑非
^	无	异或，不同为 1

示例：

5 & 3    // 1
5 && 3   // true（非零即真）
5 | 3    // 7
5 || 3   // true

十、常见应用汇总

需求	写法	说明
判断奇偶	n & 1	1 奇，0 偶
乘以 2 的 n 次方	n << n	如 n << 3 等于 n * 8
除以 2 的 n 次方	n >> n	如 n >> 2 等于 n / 4
交换两个变量	a ^= b; b ^= a; a ^= b;	无需临时变量
取第 k 位	(n >> k) & 1	从 0 开始计数
设置第 k 位为 1	`n	(1 << k)`
清零第 k 位	n & ~(1 << k)
翻转第 k 位	n ^ (1 << k)
统计二进制中 1 的个数	循环 n & 1 后 n >>= 1	或用 __builtin_popcount
判断是否为 2 的幂	n > 0 && (n & (n - 1)) == 0	2 的幂只有一位为 1

十一、GESP 三级真题示例

1. 2025年6月 第8题

二进制数 1010 | 1100 的结果是（ ）
A) 1000 B) 1110 C) 0110 D) 1100
答案：B
解析：逐位或，1010 | 1100 = 1110。

2. 2025年6月 第9题

以下哪个位运算可以交换两个变量的值，且不需要临时变量？（ ）
A) & B) | C) ^ D) ~
答案：C
解析：a ^= b; b ^= a; a ^= b; 可交换。

3. 2026年3月 第8题

0000 1111 << 3 的结果是（ ）
A) 0111 1000 B) 0001 1110 C) 1000 0111 D) 1111 0000
答案：A
解析：0000 1111 左移 3 位，右边补 0，得 0111 1000。

4. 三级样题

一个 int 类型的值乘以 8，等价于（ ）
A) << 2 B) << 3 C) >> 2 D) >> 3
答案：B
解析：乘以 8 等于乘以 $2^3$，即左移 3 位。

十二、易错点

1. 位运算基于补码，负数参与运算时先转补码。
2. ~n = -n - 1，不要忘记负数结果。
3. << 左移可能溢出，超出类型范围结果不确定。
4. >> 对负数是算术右移，向下取整，不是简单丢弃。
5. ^ 是异或，不是幂运算。
6. 不要混淆 & 和 &&、| 和 ||。
7. 位运算符优先级低于算术运算符，建议加括号。
8. 左移位数不能为负数，也不能超过类型位数。
9. 交换变量时三个异或语句顺序不能错。
10. 统计 1 的个数时，注意负数补码中 1 的个数较多。

十三、速查表

运算	规则	示例
a & b	同 1 为 1	5 & 3 = 1
`a	b`	有 1 为 1
a ^ b	不同为 1	5 ^ 3 = 6
~a	取反	~5 = -6
a << n	左移 n 位，乘 $2^n$	5 << 1 = 10
a >> n	右移 n 位，除 $2^n$	20 >> 2 = 5
n & 1	判断奇偶	1 奇，0 偶
a ^= b; b ^= a; a ^= b;	交换变量	无需临时变量
(n >> k) & 1	取第 k 位	从 0 开始
`n	(1 << k)`	设置第 k 位为 1
n & ~(1 << k)	清零第 k 位
n ^ (1 << k)	翻转第 k 位

十四、总结

位运算是 GESP 三级的核心考点。

1. 位运算直接操作二进制补码。
2. & 同 1 为 1，| 有 1 为 1，^ 不同为 1，~ 取反。
3. << n 相当于乘以 $2^n$，>> n 相当于除以 $2^n$。
4. 负数右移是算术右移，向下取整。
5. ~n = -n - 1。
6. n & 1 判断奇偶。
7. 异或可以交换两个变量。
8. (n >> k) & 1 取第 k 位。
9. n | (1 << k) 设置位，n & ~(1 << k) 清零位。
10. 位运算优先级低于算术运算，不确定时加括号。

复习建议：重点练习位运算表达式求值、程序阅读写结果、交换变量、判断奇偶、取位/设位/清位、统计 1 的个数。考试中先写出补码，再逐位运算，最后按补码解释结果。多练真题中的选择题和程序阅读题，注意负数右移和优先级陷阱。